2.а УСПЕХ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТОЧЕЧНОГО ЭЛЕКТРОНА

Следующий скачок в развитии наступил в 1938, когда Dirac⁴ опубликовал очень важную статью. Он начал с микроскопических уравнений Maxwell'а-Lorentz'а. Разумным использованием законов сохранения и ковариантного формализма, он получил уравнение движения для точечного электрона, который в нерелятивистском пределе является точно уравнением Lorentz'а (1), но без фактора 4/3 и без структурных членов,

,   аааааааааааааааааа (5)

Здесь, , a, v, и F являются четыре-векторами ускорения, скорости и силы. Новый член справа содержит интенсивность излучения Â, то есть, энергию электромагнитного излучения электрона, испущенной в данный момент за одну секунду. Этот член исчезает в нерелятивистском пределе.

Так как это уравнение почти точно совпадает с уравнением Lorentz'а в пределе точечной частицы, и чтобы не спутать его с уравнением Дирака для электрона в релятивистской квантовой механике, оно называется "Уравнением Lorentz'а-Dirac'а". Фактически, лучевой член был известен уже до Дирака. Различие между (5) и ma = Fа Ньютонаа сначала было полученно Абрахамом как релятивистское обобщение члена лучевой реакции Lorentz'а. Эти два члена известны как "Четыре-вектор реакции излучения Абрахама." В этом пункте нужно отметить, что, в то время, как этот член имеет довольно сомнительное физическое значение,а член Âv имеет очень хорошо определенный смысл. Он точно соответствует скорости, с которой энергия и импульс в форме излучения покидают электрон.

Еще одно замечание является существенным в отношении особенностей уравнения Lorentz'а-Dirac'а. С этой особенностью ауравнения Maxwell'а-Lorentz'а дополнительно связаны еще одно новое предположение и еще одна новая процедура.

Предположение заключается в том, что уравнение содержит величины не более третьего порядка. Как Дирак выразился в своей статье 1938 года в отношении уравнений более высокого порядка "Е они все являются намного более сложными, Е так, что едва ли можно ожидать, что они применимы к такой простой вещи как электрон."

Новая же используемая процедура это - процедура "перенормировки массы". Она заключается в том, что к той массе, которую электрон имеет в начальной теории ("голая масса") добавляется массовый эквивалент электромагнитного самодействия, а сумма идентифицируется с наблюдаемой массой. Эта первоначально классическая процедура не была достаточно оценена в свое время и начала использоваться в квантовой теории поля почти десять лет спустя, приведя к существенному прогрессу в квантовой полевой теории; она стала основанием для успешных вычислений радиационных поправок.

Устранение кинематических трудностей в подходе Дирака не является неожиданным. Как упомянуто ранее, это подтверждается использованием последовательного релятивистского подхода. И при этом нисколько не удивительно, что это уравнение точечного электрона не содержит никаких членов структуры: существует, конечно, бесконечный электромагнитный массовый член, скрытый в процедуре перенормировки. По этой причине переход к пределу точечного электрона может быть выполнен после перенормировки. Замечательно то, что здесь Дирак "почти" преуспел в том, чтобы получить уравнение движения электрона из уравнения Maxwell'а-Lorentz'а. Известно, что выражение силы Lorentz'а является отдельным предположением, независимым от уравнений Максвелла. Но здесь это выражение почти выведено из них. Если бы это действительно было осуществлено, мы бы имели ситуацию, подобную ситуации в общей теории относительности. Полевые уравнения там содержат уравнения движения. Это означает, что уравнения, которые позволяют вычислить поля тяготения из движения масс, одновременно определяют движение этих масс под влиянием полей тяготения. Уравнения движения - часть требованияа самосогласованности для полевых уравнений.

Главная трудность, которая все еще остается в уравнении Lorentz'а-Dirac'а (игнорируя временно перенормировку бесконечной массы) - появление ачлена: уравнение имеет третий порядок, а не второй. Эта трудность уже существует в уравнении Lorentz'а, но из-за членов структуры она была менее чувствительна. Для полной определенности решения а-член требует задания начального ускорения.

Чтобы оценить значение этой ситуации, необходимо упомянуть трудность, которая не следует с очевидностью из уравнения и которая, фактически, тесно связана с ачленом. Если начальное ускорение не определено, бесконечности результатов решений - только с одним единственным исключением - являются физически бессмысленными. Они приводят к траекториям, согласно которым частица ускорилась бы и приблизилась бы к скорости света в отдаленном будущем, независимо от того, какова приложенная сила. Фактически, такие решения существуют даже тогда, когда никакая сила вообще не действует на частицу,. Эти решения поэтому называют, "самоускоряющимися" или "разбегающимися".

Из этого следует, что начальное ускорение не только необходимо чтобы определить единственность решения, но должно быть определено и "правильное" начальное ускорение, чтобы подтвердить физическое решение. Малейшая ошибка в начальном ускорении приводит к разбегающемуся решению.

Как можно избежать возникновения этих нефизических решений? Какой принцип или условие должны быть приняты, чтобы привести к физически определенному решению? Дирак упоминал о том, что, если потребовать, чтобы ускорение исчезло в отдаленном будущем, то не будут существовать никакие разбегающиеся решения. Но это - почти тавтология. Более того, это - ad hoc условие, так как, по-видимому. никакой физический принцип здесь не применим.

Однако, возможен намного более последовательный подход. Если Вы основываетесь на факте, что только конечное количество энергии является доступным для данной системы, то из закона сохранения энергии следует, что физическая система может излучить только конечное количество энергии, даже, если это происходит в течение бесконечного времени. Таким образом, мы требуем

 о 0а дляа t о е.   аааааааааааааааааааааааааааааааа  (6)

Это очень физическое и разумное требование действительно приводит к aо0 для t о е, как и предполагается Dirac'ом. Однако, существенный пункт, связанный с этим условием, заключается в том, что это требование должно быть неотъемлемой частью уравнения движения (5). Иначе, выбор физического решения непосредственно не подтверждается уравнением. Условие (6) - не асимптотическое условие, наложенное, чтобы решить частную проблему, как сделано, например, в теории рассеяния, но это - необходимое условие, которое должно быть выполнено независимо от того, как рассматривается определенная система.

Используя несколько простых математических шагов можно теперь доказать следующее⁵. Уравнение Lorentz'а-Dirac'а (5) и асимптотическое условие (6) вместе эквивалентны одному уравнению

,а аааааааа  (7)

где K соответствует правой стороне уравнения (5). Из того, что было сказано, следует, что это уравнение должно быть взято, как уравнение движения для электрона, вместо уравнения Lorentz'а -Dirac'а, так как последнее не работает без условия (6).

Новое уравнение движения имеет много замечательных свойств:

(a) Оно не имеет никаких разбегающихся решений, так как оно было построено соответствующим образом..

(b) Это - интегро-дифференциальное уравнение второго порядка, так, что его решения определяются в духе ньютоновой механики только начальным положением и скоростью. Переход от (5) к (7) одновременно устраняет член аи разбегающиеся решения.

(c) отсутствие позволяет избежать вопрос точного физического значения того члена.

(d) Только член Âv остается как реакция излучения. Этот член исчезает, если и только если, нет никакой радиации (Â = 0), которая не имела место предварительно. Это привело к трудностям в связи с равномерно ускоренными зарядами, которые, кажется, излучают с нулевой лучевой реакцией.

(e) Решения этого уравнения полностью совместимы с распространением принципа эквивалентности на электромагнитные системы. В частности, нейтральная и заряженная частица в статическом однородном поле тяготения согласно (7) падают одинаково быстро Однако, наблюдатель, находящийся в таком поле будет видеть, что заряженная частица излучает. Это приводит к очевидному противоречию с законом сохранения энергии, которое решается согласно уравнению (7) следующим образом: Когда это уравнение записаноа в виде

    (8)

где x имеет первый порядок, эта форма уравнения движения говорит, что чистая сила, действующая на частицу есть внешняя сила, уменьшенная на лучевую реакцию. Эта чистая сила во время t + xt₀ равна массе умноженной на ускорение во время t. Следовательно, это выражение отличается от второго закона Ньютона временным интервалом между чистой силой и инерционным членом. Этот временной интервал имеет порядок t₀. Закон сохранения энергии говорит, соответственно, что работа, сделанная внешней силой во время t + xt₀, учитывает энергию излучения в тот же самый момент времени, а такжеа увеличение кинетической энергии в немного более раннее время t.

Здесь появляется новая существенная особенность: особенность, которуюа мы не могли ожидать и которая не вписывается в понятия классической физики, частью которой является эта теория: новое уравнение движения имеет нелокальное поведение во времени, определенную нехватку мгновенности (instantaneity), которая приносит с собой нехватку причинности в течение промежутка времени порядка t₀. В частности, закон сохранения энергии больше не удовлетворяется в каждый момент времени, но размазан по временному интервалу около t₀ . Это - очень серьезный вопрос, и уже только по одной этой причине можно склониться ка отказу от этой теории.

В этом пункте, однако, нужно рассмотреть величину t₀ . Эта постоянная может быть задана через массу электрона и его заряд в виде

,ааа     (9)

Ясно, такие временные интервалы находятся полностью вне области компетентности классической физики. Из этого следует, что нарушение причинности здесь возникает только вне пределов законности теории.

Выраженное в этих терминах, сравнение этой теории с теорией Лорентца -Абрахама обнаруживает интересный пример в исследовании структуры научной теории. Типичная физическая теория (ньютонова механика, геометрическая оптика) имеет определенную область законности, вне которой она не согласуется с экспериментами. Эти пределы обычно выражаются неравенствами (v >> c, l >> a), характеризуя точность, вне которой обнаруживается разногласие. Математическая структура теории не была нарушена в этих пределах. В случае теории Лорентца -Абрахама есть, конечно, также физические пределы законности (классическая природа теории, электронная структура, не обоснованно описанная ей). Но в пределе точечного электрона, теория математически достаточно хорошо не определена. Основываясь на новом уравнении движения, мы имеем математически четкую теорию, которая обнаруживает странные физические особенности вне ее пределов законности. Главным образом именно этот последний факт является неудовлетворительным, но существенна однозначная математическая природа теории. Таким образом, старая теория была математически завершена, и при этом были введены определенные новые физические особенности. Но они лежат вне возможности экспериментальной проверки, в то время как экспериментально доступные особенности теории Lorentz'а не были изменены. Я думаю, эта ситуация, является новой в истории строительства теории в естествознании.