Матричное представление расчета взаимодействия плоскости с потоком жидкости в гидравлическом приближении

П. Музыкин

1.0. Введение

аааааа Существуют самые разнообразные задачи, приводящие к расчету взаимодействия плоскости с потоком.а Здесь и движение крыла самолета, движение пропеллера самолета и гребного винта судна, движение лопастей вертолета, движение лопастей турбин и лопастных мешалок, и т.п. Согласно строгой гидродинамической теории расчет этих движений должен опираться на теорему Жуковского о присоединенных вихрях. Но практическое осуществление таких расчетов упирается в значительные математические трудности. С появлением компьютеров положение стало существенно легче. Тем не менее, в значительном большинстве случаев прикидочные расчеты делаются на основе гидравлических приближений. Основа таких расчетов была заложена задолго до появления теории Жуковского и особенно хорошо отработана с появлением аэропланов.

ааааа Применение матричной формы математики в таких расчетах, как мы увидим ниже, дает упрощение и придает универсальность расчетам. Применение известных стандартных программ типа MathCad, Matlab, Mathematika и др., позволяющих работать с матрицами, позволяет автоматизировать эти расчеты. Разумеется, в одной статье невозможно охватить весь спектр задач или их вариантов. Наша цель Ц показать возможности матричного метода. Если в дальнейшем этот подход кого-то конкретно заинтересует, ему нетрудно будет распространить его и на другие случаи.

ааааа Прежде всего, познакомимся вкратце с существующими методами расчета движения плоскости в потоке жидкости (газа) на основе гидравлического подхода.

1.1. Гидравлический метод расчета взаимодействия плоскости с потоком жидкости

аааааа При движении в жидкости (газе) тело испытывает сопротивление. Воздействие среды на тело сводится к силам, которые распределены по его поверхности. Эти поверхностные аэродинамические силы в общем случае могут быть сведены к главному вектору аглавному моменту , которые могут быть разложены на составляющие, связанные с характеристиками тела и среды. Сила аназывается аэродинамической силой, или полной силой сопротивления среды.

ааааа Воспользуемся доступной литературой, чтобы изложить первичные идеи теории. В основном речь будет идти о расчетах в связи с полетом самолета [1].

ааааааа На крылья самолета действует подъемная сила, которая поддерживает их и не позволяет падать вниз. Наша задача состоит в том, чтобы указать те физические законы, которыми объясняется подъемная сила крыльев. Очевидно, подъемная сила крыльев возникает, когда самолет благодаря тяге винта движется вперед с достаточной скоростью; следовательно, это подъемная сила связана с движением, т.е. она имеет динамический характер. Причем подъемная сила зависит не от абсолютной скорости, а от относительной; поэтому подъемная сила будет возникать и в том случае, когда тело неподвижно, а воздух движется. Такое положение мы имеем в случае воздушного змея, теорию полета которого мы проанализируем (рис. 1.1).

аааааааааааааааааааааааааааа аааа

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа Рис. 1.1

аааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа

аааааа Рассмотрим воздушный змей в виде прямоугольной плоскости в потоке воздуха, который дует слева направо. Угол, который плоскость образует с направлением ветра, называется углом атаки. Здесь Ф Ц сила тяги, приложенная к центру тяжести плоскости С через нить, удерживающую воздушный змей. Через точку С проходит также сила веса G змея. Равнодействующая обеих сил Ф и G равна . Эта сила тянет змей под углом вниз. Для того, чтобы змей под действием этой силы не опускался, ветер должен действовать на него с равной силой , но направленной в прямо противоположную сторону. Эта сила должна возникать при обтекании воздухом косо поставленной плоскости. Будем называть такую силу аэродинамической силой. Каким образом возникает такая сила?

ааааа Нетрудно видеть, что воздушный змей, отклоняя горизонтальный поток воздуха косо вниз, т.е. сообщая ему за счет изменения направления потока определенного ускорения, направленного вниз, сам испытывает со стороны воздуха реакцию, направленную вверх. Эта реакция и представляет собойа аэродинамическую силу .

аааааа Из этого следует, что действует на воздух с определенной силой, величина которой определяется вторым законом Ньютона: сила равна массе (воздуха), умноженной на ускорение. Согласно третьему закону Ньютона воздух действует на крыло с такой же силой, направленной в противоположную сторону, т.е. под углом вверх. Чем больше масса отбрасываемого вниз воздуха, тем больше реакция воздуха, тем больше и аэродинамическая сила.

аааааа Разложим аэродинамическую силу ана две составляющие (рис. 1.1): одну, направленную вертикально вверх (), и другую, направленную горизонтально ().а Последняя сила называется лобовым сопротивлением в отличие от аэродинамической силы , которая по существу тоже является сопротивлением и иногда называется полным сопротивлением. Сила же астремиться поднять змей вверх, поэтому она называется подъемной силой. Если мы разложим также силу тяги Ф, создаваемую нитью, то увидим, что подъемная сила ауравновешивается с вертикальной составляющей Ф₂ тяги Ф и весом G змея, а лобовое сопротивление Ц горизонтальной составляющей Ф₁ тяги Ф.

аааааа В наших рассуждениях мы совершенно не касались явлений, происходящих на передней и задней поверхностях змея. Это, конечно, делает наше объяснение возникновения подъемной силы неполным, однако, в основном, оно является правильным и понятным.

аааааа В случае горизонтального прямолинейного полета самолета мы имеем несколько другое расположение сил (рис. 1.2).

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа аааа

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа аааааааа Рис. 1.2

Здесь Ф Ц сила тяги винта самолета. В простейшем случае, когда ось винта проходит через центр тяжести С, тяга также будет проходить через эту точку. Вектор изображает результирующую аэродинамическую силу обеих половин крыла самолета, составляющими которой будут подъемная сила аи лобовое сопротивление крыльев Q_p. Его дополняет сопротивление остальных частей самолета Q_c и по величине примерно одинаковое с Q_p. Таким образом,а лобовое сопротивление

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа а= Q_p + Q_c

Результирующая сил аи аи дает аэродинамическую силу адля всего самолета. Очевидно, условиями установившегося горизонтального полета будут:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа а= G

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа Ф = а= Q_p + Q_c

Или, словами: подъемная сила равна полетному весу самолета. А тяга винта равна полному сопротивлению.

1.2. Формулы подъемной силы и лобового сопротивления в гидравлическома приближении.

ааааа Формулы подъемной силы и лобового сопротивления в гидравлическом приближении по своей структуре одинаковы с формулой аэродинамического сопротивления. Они выводятся на основе законов Ньютона в приложении к гидравлике и представляют собой практическое приложение формул Бернулли.

аааааа Для подъемной силы формула имеет вид:

аааааааааааааааааа аааааааааааааааааааааааааааа

где а- плотность жидкости, а- скорость потока на бесконечности (т.е. невозмущенная плоскостью скорость потока на большом удалении от нее). Словами это выражается следующим образом:

аподъемная сила крыла равна произведению коэффициента подъемной силы c_y, динамического давленияа аи площади крыла S. а

ааааа Лобовое сопротивление выражается аналогичной формулой:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа

или, словами: крыла равно произведению коэффициента лобового сопротивления c_x, динамического давленияа аи площади крыла S. а

ааааа Следует отметить, что для удобства в этих формулах вместо лобовой площади а(площади миделевого сечения), которая меняется с углом атаки и углом поворота, берется просто площадь крыла S. При этом изменяются только коэффициенты подъемной силыаа c_z аи лобового сопротивленияа c_x, которые все равно определяются эмпирическим путем для разных крыльев, углов атаки, скоростей движения (обдувки) и среды. Обычно результаты опытов представляются для плохо обтекаемых тел в виде зависимостей , где Re Ц число (подобия) Рейнольдса; для хорошо обтекаемых тел - в виде так называемых полярных диаграмм (поляр) - , либо в виде зависимостей качества профиля () от угла атаки .