3.0. Пример плоскости, произвольно расположенной в пространстве

3.1. Постановка задачи

аааааа Рассмотрим матричное описание связи углов потока с параметрами произвольно расположенной в пространстве плоскости. Это может быть плоскость крыла, винта, пропеллера, лопатки мешалки и т.д. Достаточно общий случай взаимодействия плоскости с потоком Ц это движение лопатки турбины. В простейшем случае лопатка представляет прямоугольную плоскость, расположенную на некотором расстоянии от оси вращения и под произвольным углом в пространстве (рис. 3.1). Мы будем говорить о лопатке достаточно малой площади, чтобы можно было приписать всем ее точкам одинаковую скорость движения (при необходимости расчета лопатки произвольного размера нетрудно произвести суммирование взаимодействия отдельных ее частей).

ааааа

а ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ааааааааРис. 3.1.

аДвигаясь с мгновенной скоростью , лопатка отбрасывает жидкость в определенном направлении по закону упругого отражения. Это означает, что, если рассматривать турбину неподвижной, то струя жидкости, падающая на лопатку со скоростью (), отразится от нее так, что угол падения будет равен углу отражения. Изменяя угол поворота (атаки) аи угол наклона а(рис. 3.1), мы можем в довольно широких пределах варьировать в пространстве направление отраженного потока (в обратной постановке задачи следует говорить о направлении движения в пространстве центра тяжести лопатки).

ааааааа Задача заключается в том, как по известным углам аи арассчитать направление отраженного потока (или, в обратной постановке: как, исходя из выбранного направления начального потока и расположения лопасти в пространстве, найти соответствующие углы аи ).

3.2. Методика расчета.

Как известно [2], направление вектора в пространстве задается косинусами углов, которые этот вектор составляет с осями координат. В матричном виде это записывается наиболее простым способом:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа аааа илиааа ,ааааа ааааааааа (3.1)

где индексы n = 1,2,3 означают x,y,z; а- модуль вектора скорости ; - проекции вектора ана соответствующие оси и а- косинусы соответствующих углов.

ааааа Таким образом, задача состоит в том, как по заданным проекциям скорости, т.е. по заданным косинусам аи по углама аи анайти проекции отраженного вектора, или, конкретно, косинусы его проекций (обозначим их ).

аааа Для определенности введем системы координат (рис. 3.2):

аааааааааааааааааааааааааааа ааааааа

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа Рис. 3.2

одну, связанную с касательной плоскостью колеса, на котором располагается лопатка; другую Ц штрихованную Ц связанную с плоскостью лопатки (выбор осей координат может быть, разумеется, совершенно произвольным и таким, как это удобно для вычислений; в данном случае выбор осей отличается от того, что указан на рис. 2.1-2.3)

аааа Тогда в матричном виде вектор скорости потока абудет определен в системе x,y,z (рис. 3.2) следующим образом:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа аааа , ааааааааа аааааааааааааааааа (3.2)

поскольку он направлен параллельно оси y, но в противоположном ей направлении. Этот вектор испытывает отражение относительно плоскости лопатки. Следовательно, прежде, чем подвергать этот вектор операции отражения, необходимо найти его проекции в системе координат лопатки Ц xТ,yТ,zТ. Для этого, как известно [2], достаточно совершить преобразование координат от x,y,z ка xТ,yТ,zТ. Для этого достаточно знать матрицу преобразования ,а где i иа jа индексы соответствующих систем координат:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа аааааа

где , , ,Е, Ц элементы (косинусы) соответствующего преобразования.

3.3. Определение матрицы преобразования

ааааааа Пользуясь рис 3.2, из геометрических соображений нетрудно получить:

,а (3.3)

аааааа Для проверки правильности значений элементов матрицы вычислим детерминант этой матрицы, который должен быть равен единице:

ааааааааааааааааааааааааа

как и следовало ожидать

аааааа Элементы обратной матрицы определяютсяа следующим образом:

где а- алгебраическое дополнение элемента ав определителе .

Вычисляя алгебраические дополнения по известному правилу [1], получим:

ааа ,а ааааааааа (3.4)

причем:

аааааааааааааааааааааааааааа

Правильность также можно проверить: перемножая прямую и обратную матрицу, мы получим единичную матрицу:

,ааа аааааааааааааааааааааааааааа (3.5)

Вектора в системе xТ,yТ,zТ будет иметь проекции:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа , ааа ааааааааа (3.6)

Пользуясь найденными формулами, произведем отражение и найдем проекции отраженного вектора в системе xТ,yТ,zТ. Поскольку отражение совершается относительно плоскости XТOYТ, т.е. изменение знака происходит только у проекции по оси Z , то матрица отражения будет иметь вид:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ааа ,аааааааа аааааааааааааааааа (3.7)

Для отраженного вектора получаем выражение:

,ааааа ааааааааа (3.8)

Поскольку нам необходимо найти проекции отраженного вектора именно в системе XYZ, то теперь нужно перейти от системыаа xТ,yТ,zТ ака аx,y,z. Эта операция, как известно, совершается матрицей обратного преобразованияаа . Таким образом, окончательный результат будет иметь вид:

ааааааа ,а аааааааааааааааааа (3.9)

Подставляя значения матриц и последовательно их перемножая справа налево, получим:

,ааааа (3.10)

Таким образом, проекции скорости отраженного потока будут равны:

,ааааааааа ааааааааа (3.11)

Нетрудно проверить, что в предельных случаях (3.11) дает известные результаты:

ааааа 1) Пусть , т.е. отсутствует наклон лопасти, но угол атаки не равен нулю . В этом случае из (3.11) получаем:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ,аааааааааааааа аааааааааааааааааа (3.12)

что точно соответствует закону отражения

ааааааа 2) Пусть теперь , но , т.е. отсутствует поворот лопасти, но есть наклон. Получаем:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ,аааааааааааааа аааааааааааааааааа (3.13)

что также соответствует закону отражения.

ааааа Задавая углы аи , можно по формулам (3.11) рассчитать соответствующее направление отраженного потока (т.е. направление действия сил давления).

3.4. Интенсивность отраженного потока

ааааааа Величина сил давления определятся также и интенсивностью (расходом) потока. Интенсивность потока определяется выражением:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ааааа аааааааааааааа аааааааааааааааааа (3.14)

Если площадь лопатки равна , то за счет поворота нормальная площадь определится как:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ааааа ,аааааааааааа аааааааааааааааааа (3.15)

а за счет дополнительного наклона она еще более уменьшится и будет равна:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа аа ,ааааааа аааааааааааааааааа (3.16)

Таким образом, окончательно интенсивность будет определяться формулой:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа ааааааааа ,аааааааааааа ааааааааа (3.17)

т.е. интенсивность потока, а значит, величина силы давления сокращается за счет поворота и наклона лопасти согласно формуле (3.17).

аааааа Нетрудно распространить наши вычисления на еще более общий случай, когда крыло имеет также и наклон.

Заключение.

аааааа Аналогичным образом можно вычислить также и момент сил, действующих на плоскость в потоке жидкости, а также и другие характеристики.

Литература

1. К. Шютт, Введение в физику полета. ОНТИ, М.-Л., 1938

2. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. М., Наука, 1970.